Tập Hợp Z Là Gì Trong Toán Học ? Z Là Gì Trong Toán Học
Tập hợp Z hay còn gọi là tập hợp số nguyên là một tập hợp số tự nhiên phổ biến trong toán học. Bài viết dưới đây IMO2007 sẽ trình bày đến các bạn học sinh chi tiết về định nghĩa, các tập hợp con của Z và một số bài toán vận dụng.
Bạn đang xem: Z là gì trong toán học
Tập hợp Z là gì?
Tập hợp Z được định nghĩa một cách đơn giản là có thể viết được mà không có thành phần phân số. Tập hợp Z là tập hợp số nguyên chỉ ra số nguyên là miền xác định duy nhất mà các phần tử dương trong đó được sắp xếp thứ tự tốt và được bảo toàn dưới phép cộng.
Tập hợp các số nguyên Z bao gồm số 0, các số tự nhiên dương (1,2,3,…) và các nghịch đảo phép cộng của chúng (các số nguyên âm -1;-2;-3,…).
Tập hợp số nguyên Z thường được biểu thị bằng chữ in đậm (Z) hoặc chữ lớn có viền (). Kí tự này được bắt nguồn từ tiếng Đức Zahlen (Có nghĩa là “số”)
là một tập hợp con của tập hợp số hữu tỷ
Tương tự như các tập hợp số tự nhiên khác thì tập hợp là tập hợp vô hạn đếm được.
Kí hiệu tập hợp Z
Biểu tượng còn được dùng để biểu thị một số tập hợp khác nhau với cách sử dụng khác nhau. Chẳng hạn chúng ta có một số trường hợp sau đây:
Số nguyên dương:
Các kí hiệu tập hợp này có thể khác nhau theo từng đối tượng sử dụng. Một số người sử dụng kí hiệu cho số nguyên khác 0 nhưng một số lại dùng để biểu thị cho các số nguyên không âm.
Tính chất của số nguyên
Tương tự như các tập hợp số khác thì là tập hợp đóng với các phép toán cộng trừ nhân chia. Điều này có nghĩa là tổng và tích của hai số nguyên bất kì là một số nguyên. Tuy nhiên, việc bao gồm cả những số nguyên âm, số 0 đã khiến không giống như các số tự nhiên và cũng là tập hợp đóng với các phép toán trừ.
Các số nguyên tạo thành một vành đơn vị và là vành cơ bản nhất. Vành đơn vị này nếu có một phép đồng cấu duy nhất từ các số nguyên.
Tập hợp không đóng với phép chia vì thương của chúng không hẳn là một số nguyên. Ví dụ 1 là số nguyên, 2 là số nguyên nhưng 1 chia 2 không phải là số nguyên.
Mối quan hệ số nguyên và số hữu tỉ
Trong toán học, các số nguyên tạo thành một nhóm nhỏ nhất và vành nhỏ nhất đó sẽ tạo thành các số tự nhiên. Theo lý thuyết đại số thì các số nguyên đó đôi khi được coi là số hữu tỉ để bạn dễ dàng phân biệt được với các số nguyên đại số tổng quát hơn. Trong thực tế, số nguyên (hữu tỉ) là số nguyên đại số và cũng đồng thời là số hữu tỉ. Chúng ta có thể theo dõi tính chất cơ bản của số nguyên theo bảng sau:
| Phép cộng | Phép nhân | |
| Tính đóng |  |  |
| Tính kết hợp |  |  |
| Tính giao hoán |  |  |
| Phần tử đơn vị |  |  |
| Phần tử nghịch đảo |  | Số nguyên duy nhất có phần tử nghịch đảo là -1 và 1 |
| Thuộc tính phân phối |   | |
| Không có ước của số 0 | Nếu    |
Thuộc tính về lý thuyết thứ tự
Tập hợp Z là một tập hợp số không có bất kì giới hạn trên hay dưới. Ví dụ về thứ tự của tập hợp Z được hiểu như sau:
Một số nguyên dương khi nó lớn hơn 0 và nguyên âm khi nó nhỏ hơn 0.
Số 0 là số trung gian và nó không âm cũng không dương.
Từ thứ tự của các số nguyên ta có tính chất sau:
Do các tính chất đó, người ta kết luận rằng Z cùng với thứ tự trên là một vành có thứ tự.
Câu hỏi ôn tập lại lý thuyết
Câu 1: Lấy VD thực tế trong đó có số nguyên âm, giải thích ý nghĩa của số nguyên âm đó.
Câu 2: Tập hợp Z các số nguyên bao gồm những số nào?
Câu 3: Cho biết trên trục số hai số đối nhau có đặc điểm gì?
Câu 4: Nói tập hợp Z bao gồm hai bộ phận là số tự nhiên và số nguyên âm đúng không?
Câu 5: Nhắc lại cách so sánh hai số nguyên a và b trên trục số?
Bài tập về tập hợp số nguyên
Để kết thúc lại chuyên đề này, chúng ta cùng tìm hiểu một số
Bài 1: Cho tập hợp 
Đề bàia/ Viết tập hợp N gồm các phần tử là số đối của các phần tử thuộc tập M.
b/ Viết tập hợp P gồm các phần tử của M và N
Đáp ána)
b)
Bài 2: Trong các câu sau câu nào đúng? Câu nào sai?
Đề bàia/ Mọi số tự nhiên đều là số nguyên.
b/ Mọi số nguyên đều là số tự nhiên.
c/ Có những số nguyên đồng thời là số tự nhiên.
d/ Có những số nguyên không là số tự nhiên.
e/ Số đối của 0 là 0, số đối của a là (–a).
g/ Khi biểu diễn các số (-5) và (-3) trên trục số thì điểm (-3) ở bên trái điểm (-5).
h/ Có những số không là số tự nhiên cũng không là số nguyên.
Đáp ánĐS: Các câu sai: b/ g/
Bài 3: Trong các câu sau câu nào đúng? Câu nào sai?
Đề bàia/ Bất kỳ số nguyên dương nào xũng lớn hơn số nguyên ân.
Xem thêm: Pin Năng Lượng Mặt Trời Là Gì, Nguyên Lý & CấU TạO Thế Nào
b/ Bất kỳ số tự nhiên nào cũng lớn hơn số nguyên âm.
c/ Bất kỳ số nguyên dương nào cũng lớn hơn số tự nhiên.
d/ Bất kỳ số tự nhiên nào cũng lớn hơn số nguyên dương.
e/ Bất kỳ số nguyên âm nào cũng nhỏ hơn 0.
Đáp ánĐS: Các câu sai: d/
Bài 4: Sắp xếp số nguyên
Đề bàia/ Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự tăng dần: 2, 0, -1, -5, -17, 8
b/ Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự giảm dần: -103, -2004, 15, 9, -5, 2004
Đáp ána/ -17. -5, -1, 0, 2, 8
b/ 2004, 15, 9, -5, -103, -2004
Bài 5: Trong các cách viết sau, cách viết nào đúng?
Đề bàia/ -3 -5
c/ -12 > -11
d/ |9| = 9
e/ |-2004| Đáp số
Các câu sai: c/ e/ f/
Bài 6: Tìm x
Đề bàia/ |x – 5| = 3
b/ |1 – x| = 7
c/ |2x + 5| = 1
Hướng dẫna/ |x – 5| = 3 nên x – 5 = ± 3
x – 5 = 3 ➡ x = 8x – 5 = -3 ➡ x = 2b/ |1 – x| = 7 nên 1 – x = ± 7
1 – x = 7 ➡ x = -61 – x = -7 ➡ x = 8c/ x = -2, x = 3
Bài 7: So sánh các số sau
Đề bàia) So sánh
b) So sánh
a)
Ta có
Ta có
Do đó
b)
Ta có
Ta có
Vì
Do đó
Tài liệu về tập hợp Z
Dưới đây là tổng hợp phần lý thuyết và một số dạng toán hay về tập hợp số nguyên. Bạn có thể theo dõi trực tiếp trên website nhé:
Mời các bạn và thầy cô trường THPT Chuyên Sóc Trăng tìm hiểu Z là số mấy? Z trong toán học là gì? trong bài viết dưới đây.
Tập hợp các số Z là gì?
Trong toán học, Z là viết tắt của tập hợp các số nguyên. Tập hợp các số biểu diễn các số nguyên là miền của các số nguyên duy nhất mà các phần tử dương của chúng được sắp thứ tự tốt và thứ tự của chúng được bảo toàn trong phép cộng. Tương tự như các tập hợp số khác, tập hợp Z cũng là một tập hợp vô hạn.Ví dụ: -10; -9; -số 8; 100 ; 0
Tập hợp các số R là gì? R trong toán học là gì?Tập hợp các số Q là gì? Q trong toán học là gì?
Đặt Z+ và Z-
Số nguyên được chia thành hai trường phái: số nguyên dương và số nguyên âm. Phép chia này không chỉ có ý nghĩa hình thức mà còn có ý nghĩa đại số rất lớn. Số nguyên dương được ký hiệu là Z+, số nguyên âm được ký hiệu là Z-. Đây là những biểu tượng không chính thống được quy định bởi các quốc gia và hệ thống giáo dục khác nhau.
Ví dụ về tập hợp Z+: 1, 2, 3, 4, 5…
Bộ ví dụ Z-:-10; -11; -số 8; -7…
Lưu ý: Số 0 không nằm trong Z+ hay Z- mà nằm trong Z!
Số nguyên là gì?
Số nguyên là một trong những khái niệm cơ bản nhất trong toán học. Số nguyên bao gồm các số nguyên dương và nghịch đảo của chúng là các số nguyên âm. Ngoài ra, số nguyên còn bao gồm số 0. Đây là con số duy nhất ở giữa và là vạch phân chia giữa hai đầu âm và dương.
– Phát biểu phát biểu theo khái niệm toán học đúng: Số nguyên là một miền nguyên gồm các số được sắp xếp theo một thứ tự duy nhất. Các phần tử dương của nó được sắp xếp theo một trật tự logic với quy luật bảo toàn bằng phép cộng. Nói một cách đơn giản và dễ hiểu hơn, số nguyên là những số có thể được biểu thị mà không cần sử dụng thành phần phân số.
số nguyên
– Tập hợp các số nguyên được ký hiệu là Z. Ký hiệu này là viết tắt của từ tiếng Đức Zahl có nghĩa là chữ số.
– Nó cũng là tập hợp con của hai tập hợp lớn hơn là tập hợp các số hữu tỉ Q và tập hợp các số thực R. Nó cũng là tập hợp mẹ của tập hợp các số tự nhiên N.
– Tập hợp các số nguyên có tính chất giống như tập hợp các số tự nhiên, tập hợp Z là vô hạn nhưng đếm được.
– Số nguyên là tập hợp các số: số không, số nguyên dương và số nguyên âm
+ Tập hợp các số nguyên Z có thể chia thành hai tập con là Z+ và Z-. Trong đó:
Z+ là tập hợp các số nguyên dương lớn hơn 0
Z- là tập hợp các số nguyên âm nhỏ hơn 0
Một lưu ý là số 0 chỉ có trong tập Z, không có trong hai tập con Z+ và Z-.
Tính chất của tập hợp các số nguyên
Các số nguyên trong tập hợp Z sẽ có các tính chất cơ bản sau:
– Không có khái niệm số nguyên lớn nhất và số nguyên nhỏ nhất. Các khái niệm cực đại và cực tiểu là tương đối và phụ thuộc vào các điều kiện trong từng trường hợp.
– Số nguyên dương nhỏ nhất là 1. Số nguyên âm lớn nhất là -1.
– Số nguyên Z có vô số tập con hữu hạn. Những tập hợp con đó sẽ có một số nguyên tối thiểu và tối đa xác định.
– Không có số nguyên nào nằm giữa hai số nguyên liên tiếp.
Biểu diễn số nguyên trên trục số
– Số nguyên âm có thể biểu diễn trên tia đối của tia đối số đó, gọi là trục số. Điểm 0 được gọi là gốc tọa độ của trục số. Số dòng có thể được vẽ theo chiều ngang (loose) hoặc chiều dọc (vertical).
– Khi vẽ trục số nằm ngang, chiều từ dưới lên trên gọi là chiều dương (còn được đánh dấu bằng mũi tên), chiều từ trên xuống dưới gọi là chiều âm.
– Điểm biểu diễn số nguyên a trên trục số gọi là điểm a.
=> Vậy trục số là đoạn thẳng trên đó đã chọn điểm 0 gọi là gốc tọa độ, thường chọn chiều từ trái sang phải làm chiều dương và có độ dài một đơn vị, mỗi số tự nhiên (hoặc số nguyên dương) được biểu diễn bởi một điểm ở bên phải của số 0, mỗi số nguyên âm được biểu thị bằng một điểm ở bên trái của 0
số đối diện
– Hai số đối nhau khi chúng cách đều 0 và nằm về hai phía của số 0 trên trục số. Để viết số đối của số nguyên dương bạn chỉ cần thêm dấu “-” trước số và ngược lại đối với số nguyên âm.
So sánh hai số nguyên
Khi biểu diễn trên trục số (nằm ngang), điểm a nằm bên trái điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b. Vì thế:
Mọi số nguyên dương đều lớn hơn 0
+ Mọi số âm nhỏ hơn 0 và mọi số nguyên nhỏ hơn 0 đều là số âm
Mọi số âm đều nhỏ hơn mọi số dương.
Vấn đề sử dụng tập hợp các số nguyên
Trong toán học, các dạng bài tập về số nguyên thường rất đa dạng. Nhưng kiểu đặt này thường chỉ có điều kiện giải một bài toán khó. Hoặc trong các chương trình nhỏ hơn như toán lớp 6, các số nguyên được sử dụng như các bài toán trong thế giới thực:
Các biểu thức số nguyên sau đây là hợp lệ
A = (-37) + 14 + 26 + 37
B= (-24) + 6 + 10 + 24
C = 15 + 23 + (-25) + (-23)
A = 60 + 33 + (-50) + (-33)
E = (-16) + (-209) + (-14) + 209
F = (-12) + (-13) + 36 + (-11)
G = -16 + 24 + 16 – 34
H = 25 + 37 – 48 – 25 – 37
Tôi = 2575 + 37 – 2576 – 29
J = 34 + 35 + 36 + 37 – 14 – 15 – 16 – 17
Như vậy là chúng ta vừa tìm hiểu tập hợp Z hay còn gọi là tập hợp các số nguyên. Mọi thắc mắc về bộ số trên hãy để lại bình luận bên dưới bài viết
Bản quyền bài viết thuộc về trường thptnamdan2.edu.vn. Mọi sao chép đều là gian lận! Nguồn chia sẻ: PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HUYỆN TRẠM TẤU (thptnamdan2.edu.vn)
Nhớ để nguồn bài viết này: Z là tập hợp số gì? Z là gì trong toán học? của website thptnamdan2.edu.vn
